成績評価はレポートによって行う。 以下の課題の中から最低で 1 問を選び、レポートを作成し提出すること。 レポートは LaTeX で作成し、そのソースと pdf ファイルの両方を添付ファイルとして hanaki@shinshu-u.ac.jp にメールで送ること。 締切りは 7 月 31 日 24:00 とする。 その際、Subject は「群論と対称性・レポート」とし、 学籍番号と氏名を本文に書くこと。 本人確認のため大学のメールアドレスから送ることが望ましい。
このレポートを作成するには文書中にプログラムやその実行結果を書くことになるであろう。 LaTeX でプログラムなどを書く場合には、インデントなどが無視されないように verbatim 環境などを用いるとよい。 また quote 環境などで適当に字下げをすると見やすい。 例えば以下のようになるであろう。
\documentclass[12pt]{article}
\begin{document}
C 言語のプログラムがちゃんと動くかどうかを確かめた。
プログラムは以下の通り。
\begin{quote}
\begin{verbatim}
#include <stdio.h>
int main(void) {
printf("hello, world!\n");
}
\end{verbatim}
\end{quote}
実行結果は以下の通り。
\begin{quote}
\begin{verbatim}
$ gcc hello.c
$ ./a.out
hello, world!
\end{verbatim}
\end{quote}
プログラムがちゃんと動いていることが分かった。
\end{document}
問題は A, B, C と難易度別になっている。 もちろん解答数の多いもの、選択した問題の難易度の高いものを高く評価する。
説明していないソフトウェアを利用する問題があるが、利用方法は各自で調べること。 インターネットで検索すれば色々と見つかるであろう。 また利用するソフトウェアが指定されているものについても、(C 言語によるプログラムを除いて) より適切なソフトウェアがある場合には、それを利用してもよい。
C 言語で円周率の近似値を区分求積法によって求めるプログラムを書き、 実行の様子をまとめなさい。
C 言語で円周率の近似値をモンテカルロ法によって求めるプログラムを書き、 実行の様子をまとめなさい。
maxima を用いて以下の問題を解け。
GAP で一般線形群 GL(2,3) を定義し、その主組成列を求めなさい。
GAP (または C 言語) を使って 2p-1 の形の素数を p<100 の範囲ですべて求めなさい。
(GAP を用いて) 6 次交代群 A6 の共役類の完全代表系を求めよ。 また A6 の類等式を書け。
チェビシェフ多項式について調べ、その基本的な性質をまとめよ。 また (少なくとも) 4 次までのチェビシェフ多項式のグラフを gnuplot を用いて書け。
GAP を用いて多項式のガロア群を求める方法を調べ、 それを実行しなさい。 特にガロア群が対称群にも交代群にもならない多項式を探しなさい。
Macauley2 を使って適当な加群の自由分解を求めなさい。
GAP または C 言語を使ってゴールドバッハの予想を (少なくとも) 1000 まで検証しなさい。
RSA 暗号について解説し、GAP を用いてそれを実行する様子を示せ。
コラッツの問題について調べ、GAP または C 言語を用いて (少なくとも) 1000 までの値に対して検証せよ。
GAP を用いて、有限次元代数の radical series とその次元の列を計算せよ。
マシュー群 M11 を置換群として表し、その strong generator を求めることによって M11 の位数を決定しなさい。
グレブナー基底 (Groebner basis) について調べ、GAP で実際に計算しなさい。 またそれを用いて ideal menbership problem を解きなさい。 (GAP でなく Risa/Asir を用いてもよい。)
GAP や C 言語などを用いて、 2-デザインの認容なパラメータ (v,k,λ) を v, k, λ のすべてが 10 以下の範囲ですべて求めよ。 ただし自明な場合を除くなどの工夫もせよ。
GAP や C 言語などを用いて、 対称 2-デザインの認容なパラメータ (v,k,λ) に対して Bruck-Reyser の定理の条件を確認するプログラムを書け。
自分のセミナーでの研究に関する計算を GAP, maxima, C 言語などを用いて行い、 レポートとしてまとめよ。