\documentclass[a4j,10pt]{jarticle}
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\begin{document}

\title{いろいろな数学}
\authar{信大ナナ}
\date{平成27年4月22日}
\maketitle

\section{雑多なことのまとめ}
通分
 \[  \frac{A}{B} + \frac{C}{D} = \frac{AD+BC}{BD}   \]
は小学校で習う。和の記号は
\begin{equation}
   \sum_{n=1}^N a_n = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_N
\end{equation}
で定義される。無限和は
\begin{equation}
   \sum_{n=1}}^\infty a_n := \lim_{N\to\infty} \sum_{n=1}^N a_n
\end{equation}
と定義される。加法定理
\begin{align}
 \sin(\theta+\phi) = \sin(\theta)\cos(\phi) + \cos(\theta)\sin(\phi) \\
 \cos(\theta+\phi) = \cos(\theta)\cos(\phi) - \sin(\theta)\sin(\phi)
\end{align}
は高校で習う。部分積分の公式は
\begin{equation}
   \int_\alpha^\beta f(x)g'(x)dx 
   = [f(x)g(x)]_\alpha^\beta - \int_\alpha^\beta f'(x)g(x)dx
\end{equation}
である。$D$を$\mathbb{C}$の領域とし，$f(z)$は$D$で正則であるとする。
このとき$D$内の任意の区分的になめらかなJordan閉曲線$C$と$C$で囲まれる
領域の内部の点$z$に対して
\begin{equation}
   f(z) = \frac{1}{2\pi i}\int_C \frac{f(\zeta)}{z-\zeta} d\zeta
\end{equation}
が成り立つ。

集合の演算
\begin{equation}
   (A\cap B)^c = A^c \cup B^c
\end{equation}
が成り立つ。二つの集合$A$と$B$が$A=B$であることの必要十分条件は
$A\subset B$かつ$B \subset A$である。

2行2列の行列の積は
\begin{equation}
  \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}
  \begin{pmartix} h & i \\ j & k \end{pmatrix}
 = \begin{pmatrix} ah+bj & ai+bk \\ ch+dj & ci+dk \end{pmatrix}
\end{equation}
と定義される。行列の積の行列式は，それぞれの行列の行列式の積に等しい：
\begin{equation}
  \left|
　　\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}
    \begin{pmatrix} h & i \\ j & k \end{pmatrix}
  \right|
= \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} \cdot
  \begin{vmatrix} h & i \\ j & k \end{vmatrix}.
\end{equation}
リーマンゼータ関数に対して次の公式が成り立つ
\begin{equation}
   \zeta(s) = \prod_{p:\mathrm{prime}} \frac{1}{1-p^{-s}.
\end{equation}
曲線$\gamma:[0,1]\to\mathbb{R}^2$は連続微分可能であるとする。
このとき曲線$\gamma$の長さ$L$は
\begin{equation}
　　L = \int_0^1 \sqrt{x'(t)^2 +y'(t)^2}dt
\end{equation}
で与えられる。ただし$\gamma(t)=(x(t),y(t))$。
\end{document}