本講演では1923年に証明されたBirkhoffの定理の拡張を考える．
Birkhoffの定理は，二重確率行列全体の端点が必ず置換行列になるというもの
だった．
これに対し，2つの量子系の結合系上の状態で，
各量子系へ制限したものがトレース状態になっているもの（局所トレース状態）
を考え，
その局所トレース状態全体の端点について考察を行う．
特に，この局所トレース状態全体の端点が，Birkhoffの定理とは異なり，
複雑な構造を持つことを述べ，端点の階数やエンタングルなどの性質について
未解決の問題も交えながら紹介する．