セミナー (2015年度の記録)
  • 日時 : 2016年２月１８日（木） 16:30 - 18:00 (日程が変更されました)　
    題目 : 楕円ルート系について.
    講演者 : 斉藤 義久 氏（東京大学）
    会場 : 理学部 A 棟 4 階 数理攻究室 (A-427)

    アブストラクト : 半単純リー代数の理論は，``ルート系"と呼ばれる離散的な データによって完全にコントロールされているといって良い． 半単純リー代数の一般化であるKac-Moodyリー代数は，この対応を逆手に取ることで定義される無限次元リー代数である．すなわち，Kac-Moodyリー代数の理論では，『最初に離散的データ（ルート系）を一般化しておき，そこからリー代数を 構成する』 という方法を取る．これによりKac-Moodyリー代数は，半単純リー代数の理論を特殊ケースとして内包する形で定義され，現在では見事な一般論が構築されている．ただし，Kac-Moodyリー代数は数ある無限次元リー代数の一例に過ぎず， それに属さない重要なクラスも数多く存在するということも，また事実である． 他方，1980年代半ば齋藤恭司は，特異点理論をその動機として楕円ルート系の概念を定義した．これは，古典的意味でのルート系の拡張概念であるが，上に述べたKac-Moodyリー代数の理論に現れるルート系とは拡張の方向性を異にする． さらに，楕円ルート系をそのルート系として持つリー代数として，トロイダルリー代数と呼ばれる無限次元リー代数があり，近年理論物理学とも関連して脚光を浴びつつある． 本講演では，楕円ルート系の定義とその基本的な性質を， Kac-Moodyリー代数に付随するルート系の理論との対比を行いつつ紹介したい． また，時間が許せば最近の進展についても言及する予定である．

  • 日時 : 2015年１０月２９日（木） 16:30 - 18:00　
    題目 : Remarks on quantum unipotent subgroups and the dual canonical basis.
    講演者 : 木村 嘉之 氏（神戸大学）
    会場 : 理学部 A 棟 4 階 数理攻究室 (A-427)

    アブストラクト : Quantum unipotent subgroup is the quantum coordinate ring of the unipotent subgroup associated with a finite subset which is defined by a Weyl group element of a symmetrizable Kac-Moody Lie algebra. By the works of Geiss-Leclerc-Schroer and Goodearl-Yakimov, it is known that it has a quantum cluster algebra structure. In this talk, I explain about the quantum coordinate ring of the pro-unipotent subgroup associated with a cofinite subset given by a Weyl group element and its compatibility with the dual canonical basis and the multiplicity-free property between the dual canonical basis element in the quantum unipotent subgroups and the one in the opposite. This talk is based on arXiv:1506.07912.

  • 日時 : 2015年７月９日（木） 16:30 - 18:00　
    題目 : N=1超対称Virasoro代数のWhittakerベクトルの自由場表示
    講演者 : 柳田 伸太郎 氏（京都大学数理解析研究所）
    会場 : 理学部 A 棟 4 階 数理攻究室 (A-427)

    アブストラクト : Desrosiers-Lapointe-Mathieuは2012年にAGT予想の超対称版に関連して、 N=1超対称Virasoro代数のWhittakerベクトルの Jack超対称函数による明示公式を予想した。 講演ではN=1超対称Virasoro代数とそのFock表現の復習から始め、 Desrosiers-Lapointe-Mathieu達が2000年代から研究している 古典的な対称函数やJack対称函数の超対称版について解説する。 また従来知られていなかった（と思われる） Jack超対称函数のPieri型公式などについても説明し、 Whittakerベクトルの明示公式の証明を概説する。

  • 日時 : 2015年７月６日（月） 16:30 - 18:00　
    題目 : Affine Yangian action on the Fock space
    講演者 : 小寺 諒介 氏（京都大学数理解析研究所）
    会場 : 理学部 A 棟 4 階 数理攻究室 (A-427)

    アブストラクト : Jack対称函数と$\mathbb{C}^2$上の点のHilbertスキームのトーラス固定点のクラス とを対応させることでFock空間とHilbertスキームの同変ホモロジー群が同一視でき ることはよく知られている。Uglovは、スピン$N$の対称性を持つCalogero-Sutherlan d模型の研究からJack($\mathfrak{gl}_N$)対称函数と呼ばれるFock空間の基底を導入 した。この函数はMacdonald対称函数のある退化とみなすことができ、$N=1$のときは Jack対称函数を与える。また幾何学的には、Jack($\mathfrak{gl}_N$)対称函数はア ファイン$A_{N-1}$型箙多様体のトーラス固定点のクラスと対応する。 この講演では、Uglovの構成したFock空間への$\mathfrak{gl}_N$ヤンギアンの作用と、 Varagnoloによる箙多様体の同変ホモロジー群へのアファイン$A_{N-1}$型ヤンギアン の作用が、上で述べた基底の対応と整合的であることを紹介する。

  • 日時 : 2015年5月２1日（木） 16:30 - 18:00　
    題目 : Representations of quantized function algebras and the transition matrices from Canonical bases to PBW bases
    講演者 : 大矢 浩徳 氏（東京大学）
    会場 : 理学部 A 棟 4 階 数理攻究室 (A-427)

    アブストラクト : Let $G$ be a connected simply connected simple complex algebraic group and $\mathfrak{g}$ the corresponding simple Lie algebra. In this talk, I will explain our method for investigating the transition matrices from the canonical basis to the PBW bases of the positive part $U_q(\mathfrak{n}^+)$ of the quantized enveloping algebra $U_q(\mathfrak{g})$. We use the common structure of $U_q(\mathfrak{n}^+)$ and the specific irreducible representations of the quantized function algebra $\mathbb{Q}_q[G]$, which has been pointed out by Kuniba, Okado and Yamada (SIGMA. 9 (2013)). I will mention also the relation between our mathod and another method.